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几何综合题是中考试卷中常见的题型，常作为中考的压轴题。

1. 几何综合题分类:

大致可分为几何计算型综合题和几何论证型综合题，主要考查学生综合运用几何知识的能力。

A.几何综合题的特点:

这类题往往图形较复杂，涉及知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解决。

B.解几何综合题需注意：

1.图形的直观提示；

2.分析挖掘题目的隐含条件、拓展条件，为解题创造条件、打好基础。

例题1.（2019•河南二模）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠BCA＝90°，∠CBA＝60°，AB＝10，点D是AB边上（异于点A，B）的一动点，DE⊥AB交⊙O于点E，交AC于点G，交切线CF于点F．

（1）求证：FC＝CG；

（2）①当AE＝_____ 时，四辺形BOEC为菱形；

②当AD＝______ 时，OG∥CF．

【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCF＝90°，证明△FCG为等边三角形，根据等边三角形的性质证明结论；

（2）①根据菱形的性质得到CE＝CB，得到△AOE为等边三角形，得到答案；

②根据平行线的性质得到∠GOC＝∠OCF＝90°，根据等边三角形的性质计算即可．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵CF是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，

∵∠BCA＝90°，∠CBA＝60°，∴∠BAC＝30°，又DE⊥AB，∴∠AGD＝60°，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC＝60°，∴∠FCG＝60°，又∠FGC＝∠AGD＝60°，

∴△FCG为等边三角形，∴FC＝CG；

（2）解：①如图2，四边形BOEC为菱形时，CE＝CB，∴弧EC=弧CB，

∴∠EAC＝∠BAC＝30°，又OE＝OA，∴△AOE为等边三角形，

∴AE＝AO＝5，故答案为：5；

②如图1，∵∠CBA＝60°，OC＝OB，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，

∵OG∥CF，∴∠GOC＝∠OCF＝90°，∴∠AOG＝30°，∴GA＝GO，又GD⊥AO，

∴AD＝1/2AO＝5/2，故答案为：5/2．

二. 代数、几何综合题

代数、几何综合题是指需要运用代数、几何两部分知识解决的问题，是初中数学中知识覆盖面广、综合性最强的题型，它的解法多种多样。代数、几何综合题可以考查学生的数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查对数学知识的迁移能力；考查将大题分解为小题、将复杂问题简单化的能力；考查对代数、几何知识的内在联系的认识，运用数学思想方法分析、解决问题的能力。

A.常见题型为：

方程与几何综合题；函数与几何综合题；动态几何中的函数问题；直角坐标系的几何问题；几何图形中研究、分析、猜想与证明问题等。

B.解决综合题的方法

分解变式,即将综合题分解成多个有关联的较小的基本题，逐个解决，从而得到求解的目的。

例题2．（2019•乐陵市模拟）如图，关于x的二次函数y＝x2 bx c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

【解析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；

（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP＝CB；②BP＝BC；③PB＝PC；

例题3．（2019•石家庄模拟）如图，已知点A，B，C，D的坐标分别为（﹣2，2），（﹣2，1），（3，1），（3，2）．线段AD、AB、BC组成的图形为图形G，点P沿D→A→B→C移动，设点P移动的距离为S，直线l：y＝﹣x b过点P，且在点P移动过程中，直线l随P运动而运动．

（1）若点P过点D时，求直线l的解析式：

（2）当l过点C时，求S值；

（3）①若直线l与图形G有一个交点，直接写出b的取值范围；

②若直线l与图形G有两个交点，直接写出b的取值范围．

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及求直线与折线段交点个数的问题，求出临界值是解决交点个数问题的关键．

（1）将点D坐标代入y＝﹣x b，解出b，再代回即可得函数的解析式；

（2）l过点C，点P的位置有两种：①点P位于点E时；②点P位于点C时；

（3）求出l过临界点D，E，B即可求解．

①当4＜b≤5或b＝﹣1时直线l与图形G有一个交点；

②当﹣1＜b≤4时，直线l与图形G有两个交点．

例题4．（2019•顺义区二模）对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），给出如下定义：点M与点N的"折线距离"为：d（M，N）＝|x1﹣x2| |y1﹣y2|．

例如：若点M（﹣1，1），点N （2，﹣2），则点M与点N的"折线距离"为：d（M，N）＝|﹣1﹣2| |1﹣（﹣2）|＝3 3＝6．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）已知点P （3，﹣2）．

①若点A（﹣2，﹣1），则d（P，A）＝_______ ；

②若点B（b，2），且d（P，B）＝5，则b＝_____ ；

③已知点C（m，n）是直线y＝﹣x上的一个动点，且d（P，C）＜3，求m的取值范围．

（2）⊙F的半径为1，圆心F的坐标为（0，t），若⊙F上存在点E，使d（E，O）＝2，直接写出t的取值范围．

【解析】本题属于新定义与动圆相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，是此类题目解题的关键．

（1）①由折线距离的定义，代入点P和点A坐标即可算出；

②由折线距离的定义，将点B（b，2）代入d（P，B）＝5，即可解出b值；

③先将C点坐标代入y＝﹣x，得出m和n的关系，再由d（P，C）＜3得关于m的绝对值不等式，结合其几何意义，可得m的取值范围；

（2）作正方形ABCD，顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（2，0），D（0，2），由⊙F在y轴上运动所处的临界位置，结合图象可得结论．

t的取值范围为2﹣√2≤t≤3或﹣3≤t≤√2﹣2．

例题5．（2019•江西模拟）某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：

●操作发现

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则下列结论正确的是_______ （填序号即可）

①AF＝1/2BC：②AF⊥BC；③整个图形是轴对称图形；④DE∥BC、

●数学思考

在任意△ABC中，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程

●类比探索

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为腰，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由．

【解析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时运用类比的方法：作辅助线构建平行四边形是解答本题的关键．

操作发现：

如图1，延长FA交BC于G，证明△FBA≌△FCA（SAS），得FB＝FC，根据线段垂直平分线的逆定理可得FG是BC的垂直平分线，得②正确；证明∠AFD≌△BGA（AAS），则AF＝BG＝1/2BC，得①正确；根据内错角相等两直线平行，得④正确；根据前面的证明可以得出整个图形是轴对称图形，故③正确，

数学思考：

结论：AF＝1/2BC，AF⊥BC，如图2，作辅助线，构建平行四边形和三角形全等，证明四边形DAEM是平行四边形，得AD＝EM＝AB，AD∥EM，再证明△CAB≌△AEM（SAS），可得结论；

类比探索：

同理作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，同理可得结论．

例题6．（2019•李沧区二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，动点P从点B开始沿BC边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QE⊥CD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），0＜t≤5．

（1）当PQ∥CD时，求t的值；

（2）设四边形PQEC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；

（3）当P，Q两点运动到使∠PQE＝60°时，求四边形PQEC的面积；

（4）是否存在某一时刻t，使PQ QE的值最小？若存在，请求t的值，并求出此时PQ QE的值；若不存在，请说明理由．

【解析】本题是四边形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、解一元二次方程、菱形的面积公式等知识，在解决问题的过程中，用到了数形结合的数学思想方法，应熟练掌握．本题计算量大，要细心．

（1）根据平行线分线段成比例定理得：PB/BC=BQ/BD，代入计算可得t的值；

（2）先根据三角函数表示PH和EQ、DE的长，根据面积差表示S与t之间的函数关系式；

（3）如图2，作辅助线，构建相似三角形和60度的直角三角形，根据平行 线分线段成比例定理列式为：8-t/8=MQ/5=BM/5，可得MQ＝BM＝5/8(8-t)，证明△QMP∽△FCP，计算FC的长，根据FE＝√3QE，列方程可得t的值，代入（2）中S与t的关系式可得结论；

（4）过Q作QF⊥AD于F，当P、Q、F三点共线时，PQ QE的值最小，最小值就是菱形的高线PF．∴存在，当t＝32/9s时，使PQ QE的值最小，最小值是24/5．

【总结提升】解决几何综合题除了运用常规的思想和方法进行综合分析外，还常运用从特殊到一般、以静制动等解题策略。通过对特殊情况的研究联想、拓广到一般；从运动变化中探究不变的数学本质，再从不变的数学本质出发，寻求变化的规律,逐个击破。

解决代数、几何综合题，一般以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数中的方程或函数模型求解。也可以把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与点的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系，以形导数，由数思形，从而寻求解题捷径。