打篮球的题目(篮球比赛中的压轴题（2020年浙江嘉兴第24题）)

篮球比赛中的压轴题（2020年浙江嘉兴第24题）

数学来源于生活，随处可见的事物，其实都能用数学来描述，以学生最喜爱运动之一的篮球为例，每次投球，球在空中运行的路线近似于抛物线，而抛物线又是中考压轴题中的常见知识点，篮球精彩之处于在传球、投篮、抢断等战术动作及配合，而在这些精彩背后，则是数学上的轨迹、时间、坐标。

题目

在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图1所示建立直角坐标系)，抛物线顶点为点B.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m.

①求OD的长；

②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E(4,1.3)，东东起跳后所持球离地面高度h1(m)(传球前)与东东起跳后时间t(s)满足函数关系式h1=-2(t-0.5)² 2.7(0≤t≤1)，小戴在点F(1.5,0)处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图2所示(其中两条抛物线的形状相同).东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能请说明理由？(直线传球过程中球运动时间忽略不计)

解析：

(1)给出抛物线的顶点和y轴交点，显然使用顶点式最为简便，设抛物线解析式为y=a(x-0.4)² 3.32，代入A(0,3)，求出a=-2，所以该抛物线解析式为y=-2(x-0.4)² 3.32;

(2)①将y=2.6代入抛物线解析式，得2.6=-2(x-0.4)² 3.32，解得x=1，另一根不合要求，所以OD=1m；

②在解本小题之前，其实一直有个疑问在脑中，这几个人要互相抢断、传球，身高数据想必很关键，但题目中并未直接给出，需要从图上去寻找，在图2里，有个数据2.2，它的意义就是身高，即东东和小戴身高均为2.2米，也可理解为身高加手臂距离。

然而在数学中，它们均被抽象成了线段。

在东东起跳之后，有一个反应时间0.3s，即当0≤t≤0.3时，小戴还未起跳，这便是难得的传球机会，而在0.3s之后，即使小戴也起跳了，但东东跳得早，高度更高，仍然有传球机会，所以以0.3s为分界，0.3s之前，肯定有机会，0.3s之后，可能有机会。

在讨论之前，有件准备工作要做，即图2中的另一条抛物线解析式，由于是抛物线平移，形状不变，所以很容易得到它的解析式为h2=-2(t-0.8)² 2.7，两条抛物线相交处意味着他们俩高度相同，且东东已经在下落，而小戴仍然处于上升过程，此点过后，再无机会。我们先计算出这个时间节点，令h1=h2，解得t=0.65，所以在后面的讨论中，我们只需要分两类即可。

先从拦截时这两人高度的关系开始，如下图：

点D是东东起跳点，点B是小戴防守，点E是传球点，M是东东可传球的高度，N是小戴防守最大高度，从图中我们可知，只要东东高度超过小戴防守最大高度，这个球就一定可以传出去。

在图中，我们很容易证明△MPN∽△NHE，并且由PN=0.5，HE=2.5，可求出它们的相似比为1：5，于是NH=5MP。

当0≤t≤0.3时，MP=-2(t-0.5)² 2.7-2.2=-2(t-0.5)² 0.5，NH=2.2-1.3=0.9，可列方程5[-2(t-0.5)² 0.5]=0.9，解得两个结果t=0.1或0.9，显然0.9不在范围内，因此t=0.1；

当0.3<t≤0.65时，由于两人均已起跳，图形略有变化，如下图：

MP=-2(t-0.5)² 2.7-[-2(t-0.8)² 2.7]=-1.2t 0.78，NH=-2(t-0.8)² 2.7-1.3=-2(t-0.8)² 1.4，可列方程5(-1.2t 0.78)=-2(t-0.8)² 1.4，整理得t²-4.6t 1.89=0，这个一元二次方程是根是无理数，计算要求较高，结果为t=(23±2√85)/10，显然有一个结果超过了范围，因此t=(23-2√85)/10；

当0.65<t≤1时，不可能传球；

综上所述，东东传球的时间范围是0.1<t<(23-2√85)/10.

解题反思

此题的难点集中在最后一小题中，篮球防守中的数学问题，能否传出去球，简化之后变成了线段之间的数量关系，即完成了从生活中抽象出数学模型的过程，此题更大的意义还在于，既然篮球可以这样用数学来研究，那么足球呢？排球呢？其它活动呢？只要由此展开，那在学生心里，就埋下了数学的种子，在未来某个时刻，当他遇到生活中的困惑了，能想起用数学来解决，初中这三年的辛苦，就不会白费。

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