北京大学几何学讲义(中国提前欧洲300年完成微积分前期工作，为什么还是没发明微积分)

极限的思想是近代数学的一种重要思想，它是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。我们熟知的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

用极限的思想去解决数学问题，可以说来源悠久，古希腊数学与中国数学的差异性就体现在这里，古希腊时期虽然诞生了无穷小量的概念，阿拿萨哥拉提出：“在小的当中不存在最小的，但总是有更小的”。但古希腊人重逻辑思维，而人们对“无限”的概念是缺乏严密的逻辑基础的，所以德漠克利特之后的希腊数学家因为对“无限”的额恐惧，大都倾向于无穷小和无穷大不存在的观点，尽可能的回避无穷问题。 他们避免明显地“取极限”，而是借助于反证法来完成有关的证明。

但古代中国数学在很早就对“无限”有一个明确的认知，公元前 7 世纪《庄子 天下篇》讲到“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”“就有无限可分性和极限思想;而到了公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大(最大无外)的定义和极限、瞬时等概念。

《墨经》这本书内容涵盖之丰富，你简直无法想象，墨子是我国古代的一位全才级别人物。在《墨经》中还有许多几何命题，如两条平行线之间等距、三点共一直线、同圆的半径相等、矩形四角皆为直角等。《墨经》中还论述了物理学的内容，有力学、声学和光学等，最早提出“杠杆原理”、“浮力原理”、“成像原理”等。

在《墨经》里墨子曾明确提出“不坚白，说在无久与宇”，这句话的意思是即使把时间、空间分割为无穷小的单位，一块坚白石中的坚白二性也同样是相互渗透的。而“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”则对”无穷“的概念做了一个解释。

到了公元 3 世纪，魏晋时期的数学家刘徽就利用极限的思想首创割圆术，不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。

刘徽认为圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，然后在这个基础上继续分割，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致。由此刘徽还得到了求圆锥、圆球等的体积公式。

我们都知道，微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系 。

而极限概念我们已经在先秦时期产生，求积的无限小方法从魏晋时期的刘徽就开始发展，而到了宋朝，数学家对于求积的无限小方法的探索可以说达到了顶峰，微积分产生的前两个阶段工作我们在13、14世纪就已经完成。南宋大数学家秦九韶于 1274 年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的 “大衍求一术’”。

举一个例子，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余4，问此数为几？那么解决这个问题就必须用大衍求一术：

找一个数 ，能被3和5整除，并且除7余1 是15

再找能被5和7 整除，并且除3余1 是70

再找能被7和3 整除，并且除5余1 是21

这就是大衍求一，也就是余数为1

将70*2也就是被3除余2

这样，（70*2） （21*3） （15*4）

就是索要的数（这个问题就也被称为中国剩余定理）

“大衍求一术”就是增乘开方法解任意次数字(高次)方程近似解，直到十八、十九世纪，大数学家欧拉于公元1743年、高斯于公元1801年对一般一次同余式进行了详细研究，才重新获得和秦九韶“大衍求一术”相同的定理，并且对模数两两互素的情形给出了严格证明。当时西方数学家对于秦九韶给予了非常高的评价。

当时贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术都取得了非常重要的成果。

北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了““隙积术” “会圆术”和“棋局都数术”更是开创了对高阶等差级数求和的研究。

可以说中国在十三世纪就已经全面完成了微积分前两个阶段的工作，然而因为元朝的建立，中国对于数学的研究陷入了停滞。元代统治者把人分为十等（一官、二吏、三僧、四道、五医、六工、七猎、八民、九儒、十丐），儒列为九等，居于末等的乞丐之上。读书人收到了残酷的打压，造成了学术与文化上的大倒退，许多读书人为了谋生，甚至只能靠写曲词过活。这导致中国古代数学在微积分研究上彻底落伍。

可谓是起了个大早赶了个晚集。不得不让人唏嘘。

而西方对于“极限”问题的正视是在 16 世纪的时候，当时开普勒发表了《测量酒桶的新立体几何》一文，系统整理了阿基米德的几何学研究，对其主要结论给出新的证明方法——“夹逼法”，例如圆周率约是22/7，圆与其外切正方形面积之比是11：14等。后来开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。

开普勒之后，意大利数学家卡瓦列利与发现了卡瓦列利原理，利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理：一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。卡瓦列利还发表《不可分量的几何学》一文，对阿基米德的“穷竭法”尝试进行原理上的解释。卡瓦列利认为，点的大小和线段的面积等都是不可分量，不可分量的累加形成宏观几何体。

微积分的前两阶段工作就是在开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。这些思想方法都可以从刘徽和沈括这里找到。像卡瓦列利原理就是公元四世纪祖暅提出的祖暅原理，整整晚了一千多年。

祖暅提出界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。

17世纪的笛卡尔把代数方法移植到几何领域,使代数、几何融为一体,从而创立了解析几何，后来法国业余数学家费马发表了《求极大值与极小值的方法》。费马引入了增量的概念。他们两个人的工作成为从常量数学到变量数学的转折点（微积分就是变量数学的基础内容），为微积分的产生提供了重要的数学前提。

因为有了他们的变量概念并把描述运动的函数与几何中的曲线统一起来，才能将力学的求速度和路程问题转化为求切线和面积问题。

在牛顿之前，他的老师巴罗其实已经触摸到了微积分的门槛，巴罗最重要的科学著作是《光学讲义》和《几何学讲义》，后者包含了他对无穷小分析的卓越贡献，特别是其中“通过计算求切线的方法”，同现在的求导数过程已十分相近。他已察觉到切线问题与求积问题的互逆关系，但执着于几何思维妨碍他进一步逼近微积分的基本定理，

而牛顿则是从笛卡尔这里找到了灵感，创立了流数术（微积分）。牛顿研究笛卡尔的《微分学》，，笛卡尔在他的《几何学》中提出了所谓的“圆法”，来找几何曲线的斜率。牛顿觉得笛卡尔的这种方法很好，但同时，他也不满足于此方法，他尝试用字母小o，来代表x的无限小且趋于0的增量，从而替代笛卡的方法。

后来他对任意次幂的二项式展开定理的研究基础上，再加上笛卡尔的几何求斜率的方法，进行扩展深入研究后。1665年11月，牛顿正式发明了正流数术（微分法），第二年5月，在此基础上他建立了反流数术（积分法），并且在同年 10 月，他写了一篇《1666年10月流数简论》，在这篇论文中，他引入了流数的概念，以物理学的方式，对微积分的相关基础知识及运用进行了说明，展示了他提出的流数法的普遍性的系统性，算是微积分的开山之作。

不过牛顿的流数术主要是想运用在物理领域，而且非常依赖于几何论证，还是有许多不成熟的地方，同时期，莱布尼茨也独立创建了微积分。

1666年莱布尼茨发表了《论组合的艺术》，他的微积分思想主要来源于此，在这篇文章中，他研究了平方数序列：

0，1，4，9，16，25，...

的性质，他发现它的第一阶差为

1,3,5,7,9,..

第二阶差恒等于2

透过这些规律，他发现，自然数列的第二阶就没有了，平方序列的第三阶也没有。于是他着手研究他们的规律，并提出了一个简单的符号用来表示这些变化。后来，他借鉴了牛顿的老师也是微积分的先驱巴罗的特征三角思想，构建了由dx,dy和斜边PQ的特征三角形，在以后的研究中，他建立了自己的一套完整的微积分逻辑及相关符号公式，并且提出了一些运算及应用。

牛顿是以笛卡尔的几何学入手，整合自己的以前的研究成果”无限多项式“，然后到物理学，从而得出流数法；而莱布尼茨则从数列入手，再到巴罗的特征三角求斜率，从而进入微积分。两个人的思路如果从本质上说完全相反的，牛顿是从微分到积分，而莱布尼茨是从积分到微分。

因为种种原因，两个人之间却爆发了长达十几年的微积分创始人之争，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展落后了整整一百年。当然，如今我们是把两个人并且成为微积分的发明者，不过莱布尼茨他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。

微积分的产生，促进了欧洲科学的大发展大繁荣，也推动了工业革命的发展。而中国直到清代才又开始微积分的研究，清代著名数学家李善兰在使用微积分方法处理数学问题方面取得了创造性的成就。李善兰的尖锥术表明，即使没有后来的微积分传入我国，我国也会运用独特的数学思想，通过自己特殊的途径而独立地达到中国式的微积分。

但可惜为时已晚，英国的大炮已经轰开国门如果当时我们能够顺利发明微积分，是不是中国也能爆发工业革命，一直领先于欧美呢？