怎么画踢足球的网(上帝或许不掷骰子，但可能会踢足球｜图片中的数学之美)

人们喜爱图片，总能第一眼就看到它们。我们的大脑不是用来读字母、写数字、做复式记账、编乐谱或解数学方程的，这些都只是人类故事的插曲。人类生存和进化的环境其实更适合被理解和记忆为图像。我们觉得图片趣味十足，能传播知识、便于记忆、给人以启发。

在最早的人类学文化遗址中，蕴合着极其复杂的图像，例如拉斯科洞窟壁画。即使在今天，这些图像也堪称艺术品。图片以生活为基础，把原始社会中的关系拼接在一起，以各种风格和主题勾勒出人类历史的各个阶段，并跨越千古留下了传统和社会的记忆。图片也曾集中反映宗教情感与宗教思考，激发人们把自己单纯作为主体进行内在的思维活动。在所有表现形式中，图片力求再现并概括现实的东西，使之产生瞬间的冲击力——无须记忆，却难以忘怀。

在过去的30年中，人类最伟大的成就之一，就是一些极其简单的规则可以从丝毫没有随机性和不确定性的条件出发，最终导致从任何现实角度上来说都完全无法预测的情况。下文经出版社授权摘编自《科学的画廊：图片里的科学史》，其中分享了三个经典图片中的数学发现故事。

《科学的画廊：图片里的科学史》，约翰·D.巴罗著作，唐静 等译，人民邮电出版社2022年6月。

五个大明星

柏拉图多面体

数学史上最美妙、最独特的发现之一。

——赫尔曼·外尔

多边形就是你在一张平整的纸上画的由直边围成的图形。正多边形的边长相等，内角也相等。尽管有这些限制，正多边形仍然有无穷多种。最简单的例子就是有三条边和四条边的正三角形和正方形了，当然还可以有更多条边。说出任何一个确定的数字，无论它有多大，只要你的铅笔够用，就一定能够画出一个拥有相同数量的边的正多边形。随着边数增大，你用肉眼越来越难以分辨多边形和圆形了。我们可以把圆形想成由无限多条边组成的多边形。总之，正多边形的数量是无限的。

如果我们把注意力从平面多边形转向它在三维空间中对应的概念，那得到的就是凸多面体，即向外凸的多平面立体图形。如果对平面没有特殊要求，那么它们就会产生无数种可能。但是，假设我们把对象限制在正凸多面体上，即各个面完全相同的多面体，那么会有多少种可能呢？

这些图形是莱昂纳多·达·芬奇的画作，收录在意大利数学家卢萨·帕乔利（Lusa Pacioli）1509年出版的《神圣比例》（De Divina Proportione）一书中。图中的正多面体即为5个柏拉图多面体，也属于九大正多面体。其每个面都是相同的正多边形。正十二面体由12个五边形组成。正二十面体由20个等边三角形组成。正八面体由8个等边三角形组成。正四面体由4个等边三角形组成。立方体（或称正六面体）由6个正方形组成。

奇怪的是，总共只有五种正多面体：正四面体（有4个三角形面）、立方体（有6个正方形面）、正八面体（有8个三角形面）、正十二面体（有12个五边形面）、正二十面体（有20个三角形面）。人们已经证实，从二维到三维的变化是有局限性的。欧几里得在《几何原本》的结尾处证明了这五种多面体是唯一可能的立体图形。但希腊人在很早以前就已经知道这件事了，他们把这些称为“柏拉图多面体”，因为柏拉图曾在公元前约350年出版的《蒂迈欧篇》一书中描述过这些立体。在这部著作中，柏拉图开创了把这五种对称形状与宇宙的意义联系起来的先河，他把正四面体和火元素等同起来，把立方体同土联系起来，而正二十面体对应的是水，正八面体对应的是空气，正十二面体对应的是一种很轻的物质（以太）——这种物质构成了星群和天空。

四种星形多面体，有时被称为“开普勒–潘索多面体”。它们是大十二面体（左上）、小星形十二面体（右上）、大星形十二面体（左下）以及大二十面体（右下）

想弄清到底是谁最先发现了正多面体，有点儿像尝试找出是谁发明了火。但是，柏拉图把正多面体的发现归功于雅典的泰阿泰德（Theaetetus），他可能是柏拉图在雅典学院的一个学生。历史学家相信，《几何原本》后几卷中的一些内容完全是由泰阿泰德的发现衍生而来的，还有其他一些记载在欧多克索斯和帕普斯的著作中。一个较早的说法是：“所谓的五种柏拉图多面体其实并不属于柏拉图。其中三个是由毕达哥拉斯发现的，它们被命名为立方体、角锥体和正十二面体。而正二十面体和正八面体是由特埃特图斯发现的。”

文策尔·雅姆尼策绘制，约斯特·安曼 （Jost Amman）雕刻的美丽版画

柏拉图神秘的立体占星学联想一直吸引着西方思想家。开普勒试图在《宇宙的奥秘》这部著作中将柏拉图多面体的五重和谐与天空联系起来。开普勒太阳系的模型用到了所有五种柏拉图多面体，以此描述16世纪时人们知道的六大行星的 轨道。他用柏拉图多面体内切球和外接球的直径之比，来指明行星在自身轨道中离太阳的最大距离和紧挨着的外层行星离太阳的最短距离之比。这就产生了六个 已知星球的五种比例。每个柏拉图多面体都被安排在两个相邻的行星之间。

当内层行星离太阳最远时，行星在柏拉图多面体的内切球上；而当外层行星离太阳最近时，行星在相应的外接球上。当早期的古希腊人最早开始列举组成柏拉图多面体的五种正多面体时，他们把目标限定在凸多面体上，也就是向外凸的多面体。如果我们允许多面体向内凹的话，两个共用一条边的面可以形成小于180°的角，那么就会产生四个新成员，它们被称为正星形多面体，即大星形十二面体、小星形十二面体、大十二面体以及大二十面体。

在文艺复兴时期，工匠们想利用柏拉图多面体图形作为装饰，于是逐一发现了这些新多面体。开普勒也注意到，可以把固定高度的角锥体添加到正八面体、正十二面体和正二十面体的面上，这样的话，角锥体的侧面就会连成一个平面。他由此引出将多面体组合起来的概念，因此它们就有了交叉面，很像三维版的“大卫之星”（犹太教的标记，为两个正三角形叠成的六角星。——译者注）。这些可能性并没有像凸多面体那样被系统化地理解。

直到1810年，法国数学家路易·普安索（Louis Poinsot）的一篇文章中对其进行了说明7，所以这些立体图形也被称为“开普勒–普安索多面体”。其实，纽伦堡著名的金匠文策尔·雅姆尼策（Wenzel Jamnitzer）曾于1568年出版了《几何美学》（Perspectiva Corporum Regularium）一书，书中的图就已经预示到了这些图形。1812年，奥古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）才证明，普安索推测的四种立体图形就是三维空间里所有可能的星形多面体8。而这些略显奇怪的英文名字是在更久之后的1859年，由英国数学家亚瑟·凯莱（Arthur Cayley）命名的。

如今，这些多面体对于数学家来说仍然具有美学上的吸引力和几何上的魅力9。一直以来，这些立体图形组成的模型都让人们惊艳于它们的美丽、对称性和简洁10。由此，我们似乎可以理解为什么人类一直执着于找寻身边的有限事物和永恒的几何和谐之间掩藏的超自然联系。这种几何和谐对于人类来说意味着来自宇宙的暗示。

上帝踢足球吗？

巴基球

上帝或许不掷骰子，但可能会踢足球。

——哈里·克罗托

在研究了柏拉图多面体之后，阿基米德马上发现可以创造出13种半正多面体。只要对称地截掉立方体、角锥体、正十二面体、正二十面体和正八面体的顶点，就能创造出这五种相对应的多面体，这就是“阿基米德多面体”。这些多面体的面仍然是正多边形，但这些多边形却不尽相同。它们的顶点都很相似，但面却不完全相同。仿照此法，也可以构建出另外八个阿基米德多面体。我们可以把它们看作继柏拉图多面体和星型多面体之后的第二对称多面体。

达·芬奇所绘的截角二十面体，这是他为帕乔利的书《神圣比例》绘制的插图

人们发现，某一个阿基米德多面体在宇宙中具有极特殊的重要意义，并且在近20年来的化学发展中有着举足轻重的地位。这个特殊的多面体就是阿基米德截角二十面体。它有60个顶点和32个面，每三个面相交于一个顶点，此外还有90条边。32个面中包含20个六边形和12个五边形，所以，每两个六边形和一个五边形相交于一个顶点。这是一种美丽的结构，但对读者来说，比起上述事实，大家马上能想到的恐怕是另一样东西。足球到了近代就变成了这种由黑色的五边形和白色的六边形组成的典型形状。

建筑师理查德·巴克敏斯特·富勒（Richard Buckminster Fuller）在他1949年设计的网球格顶中大量运用了二十面体的几何结构。富勒是一位自学成才的结构工程师，一直以来都努力通过数学上的对称来达到多重优化的目的，比如减少用料、降低组装难度以及加强结构的稳固性。他很欣赏妙用材料的方法，比如，一种材料在某种情况下可能极其脆弱，但只要按照适当的几何构型加以组织利用，就可以达到相当大的强度。蛋壳就是一个大家都熟悉的例子。

阿基米德多面体，都由两种或两种以上多边形的面构成

富勒在1954年的专利文件（专利号：2682235）中的画作

1967年，富勒为蒙特利尔世界览会设计的美国馆就是一个由网格状球顶构成的建筑，球顶上的面是由五边形和六边形交织构成的截角二十面体。整个建筑令人叹为观止。这是一个关于对称和功能的伟大宣言，建筑的规模和形态引起了很多科学家和设计师的注意，其中就包括哈里·克罗托（Harry Kroto）。克罗托是一位毕生都对建筑和平面设计充满兴趣的化学家。其实，哈里曾是我在英国萨塞克斯大学的同事，当我第一次被任命为讲师的时候，他甚至还坐在评审席上。哈里一直以来都对在特殊情况下碳分子能否在空间分子云里形成长链的问题很感兴趣。

要验证这样一个问题需要两个步骤：首先，在严格控制的实验室环境中创造出类似的链；然后，看是否有空间中的分子和这些人工制造出的链在光谱的特征上相匹配。1985年，哈里加入了理查德·斯莫利（Richard Smalley）和罗伯特·柯尔（Robert Curl）在美国得克萨斯的莱斯大学领导的研究团队，团队中还有研究生詹姆斯·希思（James Heath）和肖恩·奥布赖恩（Sean O’Brien）。他们打算用激光束打碎碳原子团，然后观察遗留物在汽化以后是否会凝聚成一些有趣的新碳聚合物。团队发现，形成的新团都有偶数个原子。在稍微调整了实验之后，他们可以创造出几乎总是包含60个碳原子的原子团。团队试图为实验结果找到一个合理的解释。

《自然》杂志1985年11月14日的封面，庆贺罗伯特·柯尔、哈里·克罗托和理查德·斯莫利发现了碳-60

哈里也百思不得其解，为什么碳会更倾向于形成碳-60的形式呢？这时，他想起了曾为孩子们用纸壳做的小截角二十面体，以及富勒的球顶。他马上打电话给英国的家人确定了自己所做的模型的几何构成。他相信，碳形成的就是截角二十面体，碳原子位于该构型的60个顶角上。哈里做了一个由五边形和六边形构成的纸模型，并在随后的11天里疯狂工作。从1985年9月1日一直到9月12日，他完成了论文并投稿给《自然》杂志。该杂志在9月13日收到稿件后，于11月14日将其刊出，并在封面上刊登了相应的图片。

人们给这些碳原子起过很多名字。起初它被称作“富勒烯”，以纪念“富勒顶”结构为化学做出的贡献；之后还有更不正式的名字——“巴基球”，甚至偶尔也被称为“足球烯”。

这个富勒顶的原型是一个斜方截半九面体，照片拍摄于1954年圣路易斯华盛顿大学

发现新的碳结构是化学界的一次伟大革命，它使无机化学和有机化学联合在一起，并提供了在分子层面上构建物质的新方法。柯尔、斯莫利和克罗托分享了1996年的诺贝尔化学奖。巴基球的对称造型自然而然地成了化学的象征，很多科学杂志都以这一形象为封面，以庆贺碳分子的新发现。这样的盛况恐怕只有当年发现脱氧核糖核酸能与之媲美。

一面之词

默比乌斯带

“小鸡为什么要穿过默比乌斯带？”“为了到另外一……呃……”

——无名氏

把一张长条纸的两端粘在一起，形成一个圆柱体。在上小学时，大家应该都曾做过无数遍这样的事了。这个圆柱体有内侧也有外侧。但是，如果你在把两端粘在一起之前先把纸带扭一下的话，就会创造出一个与众不同的东西。这个环看起来像是一个立体的数字8，并有一个令人震惊的特性——它没有内侧也没有外侧，只有一个表面。如果你用一根蜡笔为这个环染色，那么蜡笔不离开纸带的表面就可以染遍整个环。这一特性甚至会带来商业价值，工厂有时会利用这种单面特性来延长传送带的使用寿命。在20世纪20年代，有人还为默比乌斯幻灯片和录音带申请了专利，这种方法加倍了连续环的长度，而其中的把戏不过是把带子扭曲的部分和滚转机分开。

默比乌斯带

奥古斯特·默比乌斯（August Möbius）是第一个注意到这种有趣的“表面现象”的人，如今数学家们称之为“不可定向曲面”。默比乌斯是德国数学家和天文学家，他母亲一族的祖先甚至可以追溯到马丁·路德。年轻的默比乌斯在测绘和三角法天文学领域取得了一系列成就之后，离开了最初求学的城市莱比锡，来到了德国数学界的中心——哥廷根，并在数学巨匠高斯领导下的哥廷根天文台做起了研究。他又从那里转去哈雷，在高斯的老师约翰·普法夫（Johann Pfaff）的指导下工作。在经历数次辗转后，这位乐于游学的天文学家最后在1848年回到了莱比锡，成为莱比锡天文台的主管和天文学教授。

默比乌斯传送带的早期专利。与传统双面传送带相比，这种单面结构让传送带的使用寿命加倍，传统传送带只有单面可用

默比乌斯对天文学的贡献斐然，但其后半生在数学方面也有了许多新发现，特别是在几何学方面。时至今日，我们仍然在学习源于他的默比乌斯函数和默比乌斯变形。可以想见，作为高斯的学生，默比乌斯在自己的工作成果中设置了很多标准，这让他的所有工作成果的最终成型和发表都很滞后。结果，关于默比乌斯带的论文还是在他死后遗留的论文中找到的，而真正发现默比乌斯带的时间是1858年，当时，他正为“法兰西科学院年度科学大奖”准备一篇关于多面体的文章。在同年7月，默比乌斯带还被另一名德国数学家独立发现，约翰·利斯廷（Johann Listing）也是高斯在物理学和应用数学研究组的学生4。在高斯的建议下，利斯廷开始研究空间结构，而且，为了和他以前的老师在新课题上取得一致，他提出这门学科应该被称为“拓扑学”——这个名称一直沿用至今。然而不幸的是，利斯廷和他的妻子都家境贫寒，经常入不敷出，不时要面对高利贷债主的骚扰。大多数同事认为这对夫妇品行不佳，对他们甚少怜悯。所幸一位老友雪中送炭，在利斯廷濒临破产时，他的老同学萨托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森（Sartorius von Waltershausen）救助了他们。在很久以前，在二人一起读书时，利斯廷曾照顾过这位当时身染重疾的朋友，并救了他一命。30年后，冯·瓦尔特斯豪森得以回报恩人，偿还了利斯廷的债务。这样的命运反转发生在默比乌斯带的发现者身上，不能不说是一桩美谈。

默比乌斯生前未发表手稿中的原始图画（1858年）

默比乌斯带不仅对数学家充满了吸引力，而且激发了众多艺术家和设计师表达无限和完美的渴望。其中最著名的莫过于毛里茨·埃舍尔，他画出的“活”默比乌斯带已经成为20世纪制图术的标志性作品。埃舍尔在默比乌斯带启发下创作的作品中，描绘了9只红铜色蚂蚁在永无止境的带子上爬行。

在埃舍尔画廊中，有《不可能三角形》《瀑布》等主题作品，默比乌斯带也在其中，其外观经常让参观者陷入一种错觉：默比乌斯带是一种不可能的图形。但默比乌斯带确确实实存在，只不过有点出人意料而已。

埃舍尔的《默比乌斯带Ⅱ：红蚂蚁》（Möbius StripⅡ: Red Ants），由红、黑、灰绿色组成的三组木版画（1963年）

埃舍尔并不是唯一挖掘默比乌斯带特性的杰出艺术家，在20世纪30年代，瑞士雕刻家马克斯·比尔（Marx Bill）认为，拓扑学的发展为艺术家们拓展了一片未知的疆域。他以金属或花岗岩为材质，创作了一系列以“无穷丝带”为主题的雕刻作品。

比尔做出了实实在在的三维默比乌斯带。在20世纪70年代，美国高能物理学家兼雕塑家罗伯特·威尔逊用不锈钢和铜做出了类似的默比乌斯带。英国雕塑家约翰·罗宾森（John Robinson）的作品《永恒》（Immorality）是由抛光铜制成的被扭成默比乌斯带的三叶草结。在尼克·米的数码艺术作品中，这个闪闪发光的三叶草结悬浮在一片虚幻的海上（下图）。很多人还把默比乌斯带结构应用在建筑中，创造出叹为观止的建筑物和生动有趣的儿童活动区。

尼克·米虚拟地呈现了约翰·罗宾森的雕塑，被扭成默比乌斯环的三叶草结

小说家们也抓住了机会，把默比乌斯环设计进了奇幻的故事中。1949年，亚瑟·C.克拉克（Arthur C. Clarke）把整个宇宙描述成“黑暗之墙”。把平凡的生活和不可思议之物结合起来更显有趣，正如在阿明·道奇（Armin Deutsch）的短篇小说《一条名叫默比乌斯的地铁》（A Subway Named Möbius）中，波士顿的一条地铁线变成了默比乌斯带，从此，列车经常消失，一位哈佛大学的数学教授被卷入其中……也许这才是故事的关键，这条地铁线可能就是这位教授设计的！

在新材料技术和各种思想突飞猛进的今天，默比乌斯带始终挑战着人们的想象力。无论谁都难逃它的魅力，说不定还有人反而羡慕那些从未听说过默比乌斯带的小孩子呢。

文/约翰·D.巴罗

摘编/李永

导语校对/贾宁