为什么足球比赛胜得三分(一文讲透小学奥数比赛组合问题｜鹏程杯六年级数学真题详解)

所谓比赛组合问题，是五证老师给起的名字，严格来说，这种问题就是组合问题，但是，它往往通过足球比赛、象棋比赛等比赛的形式表现出来，逐渐成了一种独立的类型，五证老师就索性称这种类型的题为比赛组合问题吧。

解答这种类型题目的关键是弄清楚以下公式，知道公式中元素的意义。

假设是单循环比赛，参赛人数为n

1. 总的比赛场数=n×(n-1)÷2（这个公式必须牢记）

2. 如果获胜方得分是平局的2倍，负方得0分，则所有参赛人员得分总和=n×(n-1)÷2×胜一场的得分（现在的足球比赛是胜一场得3分，平局各得1分，负一场得0分）

3. 如果获胜方得3分，平局各得1分，负方得0分，则所有参赛人员的得分总和取决于平局的数量

总结一下，这种类型的题目最核心的元素就是参赛人数和计分规则，知道了这两个元素，也就可以很容易地求出总的比赛场数和参赛人员的得分总和。

从2014年到2022年九届鹏程杯，小学六年级组共出现了4次比赛组合问题。

2016年第三届鹏程杯小学六年级数学第13题

象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘. 胜一盘得 1 分，平 1 盘得 0.5 分, 负一盘得 0 分; 已知其中两名选手共得 8 分,其他人的平均分为整数. 求参加此次比赛的选手共有多少人?

分数输入太麻烦，五证老师就把官方标准答案贴上来了。从答案我们可以看出，这道题最后演化成了分式的分解。但是，第一步指出这个分式是整数也很关键哟，占6分呢。

2020年第七届鹏程杯小学六年级数学第10题

有 2 名六年级选手与至少 10 名五年级选手一起比赛象棋，每两个人彼此都恰好比赛一场. 每场比赛胜者得 2 分，负者得 0 分；若和局则各得 1 分. 比赛结束后，已知 2 名六年级选手得分之和为 20 分，且每名五年级选手都得 N 分，则N=_________.

解：设五年级选手有n人，则全部选手为n 2人，所有选手的分数之和为(n 2)(n 1)÷2×2=(n 2)(n 1)

所以(n 2)(n 1)=20 nN（用我们的公式得到了这一步，接下来是关键了，因式分解）

n2 3n 2=20 nN

n2 3n-nN=18

n=18

所以n能被18整除，又因为n≥10，所以n只能等于18

把n=18代入上面的式子得：N=20

可见，这种比赛组合题，知道我们的公式只是最基本的，关键的难点是对因式进行分解。因为如果没有因式分解，这类题目也就太简单了，没什么花头了。

2021年第八届鹏程杯小学六年级数学预赛第19题

某小学举行足球比赛，共有 A，B，C，D，E 五个足球队参加，比赛规则是两两各赛一场，胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平一场两队各得 1 分. 十场球赛比完后，五个队的得分互不相同. A 队未败一场，且打败了 B 队，可 B 队得了冠军，C 队也未败一场，名次却在 D 队之后，则以下说法正确的是（ ）.

A.A 队得 6 分

B.B 队得 7 分

C.C 队得 4 分

D.D 队得 5 分

E.E 队得 2 分

解析：B 队负 A 队，平 C 队，最多得 7 分；A 队不可能胜两场，否则得分将高于 B 队，所以 A 队胜 B 队，其余三场都平，得 6 分；C 队未负一场，最少得 4 分，又 C 队名次在 D队之后，所以 D 队得 5 分，C 队得 4 分. 由 D 队得 5 分，且负 B 队，平 A、C 队，推知 D 队胜 E 队；又 E 队负 B 队，平 A、C 队，所以 E 队得 2 分

这道题需要分析，分析的时候要借助于下面的积分表了（喜欢足球的同学一定不陌生）

2022年第九届鹏程杯六年级数学预赛第4题

6 位中国象棋选手进行比赛，每两人之间比赛一局. 如果是平局，参赛选手各得 1分；否则赢者得 3 分，输者得 0 分. 最后六位选手的得分之和为 39 分，则平了( )局.

这道题相对简单，不需要因式分解，直接设未知数列方程即可。也可以用鸡兔同笼的思路去解，不过是3条腿的兔子和1条腿的鸡

解：6位选手比赛，总局数为6×5÷2=15局

设平了x局，则分出胜负的局数为15-x

x (15-x)×3=39

2x=6

x=3

以上都是五证老师一个字一个字地敲出来的哟！怎么样？是不是讲的很详细了？通过这样一步一步的讲解，并且每一步都有依据，是不是让大家能理解的更透彻呢？

好了，这道题我们就讲到这里，欢迎大家关注、点赞、转发。五证老师会给大家带来更多的分享。