cba和ab哪个角大(「中考复习」相似与三角函数相结合设参列式求比值)

在中考试卷中，有一类相似与三角函数相结合的大题，最后算比值或某个角的三角函数值，这类题的解题通法是:设参数，把相关线段用参数表示出来，通过相似(或勾股定理)列方程，最终求出比值.

【题目呈现】

1.在△ABC中，∠ABC=90°

(1)如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证:△ABM∽△BCN;

(2)如图2，P是BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=2√5/5，求tanC的值;

(3)如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=3/5，AD/AC=2/5，直接写出tan∠CEB的值.

【分析】(1)图1是典型的一线三垂直(一线三等角)模型，同学们不难证出结论，我要说的重点是后边的两问，同学们切记中考时，大题的连续几问往往环环相扣，层层递进，有了第(1)问的结论，及一线三垂直模型，后续的两问就有了思路或方法，倘若单独给出第(2)问则问题较难，基于此，我们看第(2)问如何处理.

(2)由于第(1)问中用到了一线三垂直模型，此问中应构造一线三垂直模型，如下图:

过点P作PM⊥AP，交AC于M，过点M作MN⊥PC，N为垂足，则一线三垂直模型已构造完成.易证△PMN∽△APB，∴PN/AB=PM/AP=tan∠PAC=2√5/5，设PN=2t，则AB=√5t，∵∠BAP ∠APB=∠MPC ∠APB=90°，∠BAP=∠C，∴∠MPC=∠C，∴CN=PN=2t，表示出相关线段之后，接下来需要列方程求t，易得△ABP∽△CBA，∴AB²=BP×BC，∴(√5t)²=BP×(BP 4t)，∴BP=t，∴BC=5t，∴tanC=AB/BC=√5t/5t=√5/5.

(3)由于AE=AB，我们想到等腰三角形三线合一的性质，过点A作AG⊥BE于M，过点C作CN⊥BE交EB的延长线于点N，构造出一线三垂直模型，如下图:

在Rt△ABC中，由于sin∠BAC=3/5，∴tan∠BAC=BC/AB=3/4，由于∠DEB=90°，∴CN∥AM∥DE，∴MN/EM=AC/AD=5/2，同(1)的方法得，△ABM∽△BCN，∴BM/CN=AM/BN=AB/BC=4/3，那么设BM=4m，CN=3m，AM=4n，BN=3n，∴MN=BM BN=4m 3n，∵AB=AE，AM⊥BE，∴EM=BM=4m，∴MN/EM=(4m 3n)/4m=5/2，解得，n=2m，∴EN=EM MN=4m 4m 3n=14m，在Rt△CEN中，tan∠CEB=CN/EN=3/14.

【小结】求三角函数值或某两条线段的比值，往往设参引进未知数(参数可引进一个或两个)，依据条件用未知数表示出相关量，再通过相似或勾股定理列方程，求出未知数，从而得出解答.

2.已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点E.

(1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证:ED×EA=EC×EB;

(2)如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=3/5，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积;

(3)如图3，另一组对边AB，DC的延长线相交于点F，若cos∠ABC=cos∠ADC=3/5，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长(用含n的式子表示).

【分析】本题实质上是一个双直角模型问题，(1)要证ED×EA=EC×EB，化为比例式ED/EC=EB/EA，通过三点定型确定△EDC∽△EBA，从而不难解决.

(2)已知∠ABC=120°这一特殊角，又cos∠ADC=3/5，CD=5，AB=12，一方面想到在直角三角形中，利用三角函数，另一方面要利用∠ABC=120°这一特殊角，从而引出辅助线CF⊥AE于F，AG⊥EB，交EB的延长线于G，构成了与(1)相同的双直角模型，与(1)的思路一脉相承，如下图:

易得DF=cos∠FDC×CD=3/5×5=3，又得CF=4，利用S△CDE=1/2×ED×CF=6，求得ED=3，则EF=6，在Rt△AGB中，因AB=12，易得BG=1/2×AB=6，AG=6√3，利用(1)中思路，得△EFC∽△EGA，得EF/EG=CF/AG，从而求得EG=9√3，则S四边形ABCD=S△AGE一S△CDE一S△AGB=1/2×AG×EG一6一1/2×AG×BG=1/2×6√3×9√3一6一1/2×6√3×6=75一18√3.

(3)依据前两问的思路，构造双直角模型，作CH⊥AD于H，AG⊥DF于G，如下图:

则CH=4，DH=3，EH=n 3，∴tan∠ADG=AG/DG=CH/DH=3/4，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a，∴FG=FD一DG=5 n一3a，易知∠E=∠F，△AFG∽△CEH，∴AG/CH=FG/EH，∴4a/4=(5 n一3a)/(n 3)，解得，a=(n 5)/(n 6)，∴AD=5(n 5)/(n 6).

【总结】抓住模型，层层递进，引进参数，列出方程，解答问题。

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